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GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
2.
Calcule la suma de las siguientes series, en caso de que sean convergentes.
a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n+1}}$
a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n+1}}$
Respuesta
Para encarar estos ejercicios es imprescindible que primero hayas visto la clase de Serie geométrica. Acá vamos a usar todo lo que vimos en esa clase para poder calcular estas sumas :)
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La clave en estos ejercicios va a estar en reescribir la serie que nos dan para que nos aparezca una serie geométrica, de la cual sabemos calcular su suma. Refresquemos por las dudas jaja
$ \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}$
Entonces, si manipulamos un poco la serie que nos dan, mirá como nos queda:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3 \cdot 3^n} = \frac{1}{3} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n$
Y ahí nos apareció la serie:
$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n$
con $r = \frac{1}{3}$ de la cual sabemos calcular su suma. Pero ojoooo, esta serie arranca en $n = 1$, y nosotrxs la suma que sabemos calcular es esta:
$\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$
es decir, arrancando desde $n = 0$. Pero no importa, como vimos en la clase, siempre podemos hacer esto:
$(\frac{1}{3})^0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{3}{2}$
$ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{3}{2}$
$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$
Entonces, con este resultado tenemos que:
$\frac{1}{3} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$
Por lo tanto, la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n+1}}$ converge a $\frac{1}{6}$
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