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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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2. Calcule la suma de las siguientes series, en caso de que sean convergentes.
a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n+1}}$

Respuesta

Para encarar estos ejercicios es imprescindible que primero hayas visto la clase de Serie geométrica. Acá vamos a usar todo lo que vimos en esa clase para poder calcular estas sumas :)

La clave en estos ejercicios va a estar en reescribir la serie que nos dan para que nos aparezca una serie geométrica, de la cual sabemos calcular su suma. Refresquemos por las dudas jaja

$ \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \frac{1}{1-r}$

Entonces, si manipulamos un poco la serie que nos dan, mirá como nos queda:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3 \cdot 3^n} = \frac{1}{3} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n$

Y ahí nos apareció la serie:

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n$

con $r = \frac{1}{3}$ de la cual sabemos calcular su suma. Pero ojoooo, esta serie arranca en $n = 1$, y nosotrxs la suma que sabemos calcular es esta:

$\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$

es decir, arrancando desde $n = 0$. Pero no importa, como vimos en la clase, siempre podemos hacer esto:

$(\frac{1}{3})^0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{3}{2}$

$ 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{3}{2}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

Entonces, con este resultado tenemos que:

$\frac{1}{3} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

Por lo tanto, la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n+1}}$ converge a $\frac{1}{6}$
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Avatar Gabriela 20 de junio 13:51
Hola, en donde se ven las clases y videos? tengo un plan semestral pero solo estoy vieno los problemas (en algun momento encontre un video pero no tengo claro en donde consultar)
Avatar Flor Profesor 21 de junio 10:56
@Gabriela Hola Gabi! Claaaro, no, te estás perdiendo el verdadero curso jaja o sea acá están las guías resueltas en texto como un extra, pero todo el hilo conductor del curso, con los videos y resúmenes, y los parciales interactivos está acá -> 

https://www.exapuni.com/cursos/cbc/An%C3%A1lisis%20Matem%C3%A1tico%2066/Gutierrez%20(%C3%9Anica)

Igual si vas a tu usuario arriba a la derecha, donde está el ícono de una casita, ahi podés ver tus cursos activos (deberías estar viendo este) y ahí podés entrar directamente al curso, y vas a ver todos los módulos con las clases, los parciales interactivos y si apretas "Ver guía" en cada módulo, ahi te lleva a esta parte

Avisame porfa si lo encontraste así me quedo tranqui!
Avatar Gabriela 22 de junio 13:04
@Flor muchas gracias Flor. Excelente el curso y eso que me perdi una parte importante
Avatar Cos 19 de junio 15:48
Converge a 1/6 puede ser? Tenes que multiplicar por 1/3 al final puede ser?
Avatar Flor Profesor 19 de junio 16:38
@Cos Siiiii, me comí el $1/3$ que había sacado afuera de la serie! jaja gracias por avisarme, ya lo edito! ;)
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